Question

10．已知函数f（x）=alnx-x（a＞0）．
（1）当a=2时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若对任意x₁，x₂∈（0，$\frac{a}{4}$]，不等式k|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）问题转化为$\frac{3}{k}$≤|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|在（0，$\frac{a}{4}$]恒成立，求出f′（x），根据f′（x）的单调性求出f′（x）的最小值，得到关于k的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=2时，f（x）=2lnx-x，f（1）=-1，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-1，f′（1）=1，
故切线方程是：y+1=x-1，
即x-y-2=0；
（2）显然k＞0，
由题意得：$\frac{3}{k}$≤|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|在（0，$\frac{a}{4}$]恒成立，
由f（x）=alnx-x，则f′（x）=$\frac{a}{x}$-1，由a＞0，
故f′（x）在（0，$\frac{a}{4}$]递减，
f′（x）_min=f′（$\frac{a}{4}$）=3，
故$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$≥3，即|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|≥3，
故$\frac{3}{k}$≤3，解得：k≥1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．