Question

14．{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是方程x²-c_nx+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=0的两根，且a₁=2，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 由题意知a_n+a_n+1=c_n，a_na_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，从而可得$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，从而写出a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-2}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，讨论n以求S_n，最后以分段形式写出即可．

解答 解：∵a_n，a_n+1是方程x²-c_nx+（$\frac{1}{3}$）ⁿ=0的两根，
∴a_n+a_n+1=c_n，a_na_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
∵a_na_n+1=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，a_n+1a_n+2=（$\frac{1}{3}$）ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3}$，
故数列{a_n}的奇数项成等比数列，公比为$\frac{1}{3}$，偶数项成等比数列，公比为$\frac{1}{3}$；
可知a₁=2，a₂=$\frac{1}{6}$；
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-1}{2}}，n为奇数}\\{\frac{1}{6}•（\frac{1}{3}）^{\frac{n-2}{2}}，n为偶数}\end{array}\right.$，
当n为奇数时，
S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n
=（a₁+a₂）+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）+（a_n+a_n+1）
=2（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n+a_n+1）-（a_n+1+a₁）
=2（$\frac{2（1-（\frac{1}{3}）^{\frac{n+1}{2}}）}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{\frac{1}{6}（1-（\frac{1}{3}）^{\frac{n+1}{2}}）}{1-\frac{1}{3}}$）-（2+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n+1}{2}}$）
=4$\frac{1}{2}$-7•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n+1}{2}}$；
当n为偶数时，
S_n=S_n-1+c_n=4$\frac{1}{2}$-7•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$+a_n+a_n+1
=4$\frac{1}{2}$-7•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$+$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$+2（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$
=4$\frac{1}{2}$（1-（$\frac{1}{3}$）${\;}^{\frac{n}{2}}$）．
综上所述，
S_n=$\left\{\begin{array}{l}{4\frac{1}{2}-7•\frac{1}{{3}^{\frac{n+1}{2}}}，n为奇数}\\{4\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{\frac{n}{2}}}），n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了学生的化简能力分类讨论的思想应用，同时考查了构造法的应用．