Question

3．若函数f（x）=x-2sinxcosx+acosx在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]单调递增，则a的取值范围是（　　）

• A． [-3，+∞）
• B． （-∞，-3]
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用导函数的性质求解原函数的单调性，根据在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]单调递增，求a的取值范围．

解答 解：函数f（x）=x-2sinxcosx+acosx
那么：f′（x）=1-2cos2x-asinx
∵f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]单调递增，即f′（x）=1-2cos2x-asinx≥0，
sinx在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上恒大于0，
可得：a≤$\frac{1-2cos2x}{sinx}$
令y=$\frac{1-2cos2x}{sinx}$=$\frac{1-2（1-2si{n}^{2}x）}{sinx}$=$\frac{4si{n}^{2}x-1}{sinx}$=$4sinx-\frac{1}{sinx}$
可得：y=$4t-\frac{1}{t}$，（t∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}，1$]）
∴当t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，y取得最小值为：2$\sqrt{2}-\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$
故得$a≤\sqrt{2}$
故选D

点评 本题主要考查三角函数的单调性的运用，利用导函数的性质求单调性是解决本题的关键．