在直角坐标系xOy中.直线l的方程为x+y-8=0.曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$．(1)已知极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位.且以原点O为极点.以x轴正半轴为极轴.若点P的极坐标为$(4\sqrt{2}.\frac{π}{4})$.请判断� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x+y-8=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.（α为参数）$．
（1）已知极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，若点P的极坐标为$（4\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$，请判断点P与曲线C的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值与最大值．

分析（1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，把点P的极坐标化为直角坐标，把椭圆的方程化为直角坐标方程，即可判断出位置关系．
（2）法1：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，从而点Q到直线l的距离为 $d=\frac{{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}}{{\sqrt{1+1}}}$，化简再利用三角函数的单调性即可得出．
法2：直线l的平行线n方程可设为：x+y+t=0，与椭圆方程联立化为 4x²+2tx+t²-3=0，利用△=0，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答解：（1）设点P的直角坐标系坐标为（x₀，y₀），则$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=4\sqrt{2}cos\frac{π}{4}=4\\{y_0}=4\sqrt{2}sin\frac{π}{4}=4\end{array}\right.$，得：P（4，4）． …
$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.（α为参数）⇒\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}={cos^2}α+si{n^2}α=1$，
∵$\frac{4^2}{1}+\frac{4^2}{3}＞1$，
∴点P在曲线C ${x^2}+\frac{y^2}{3}=1$外．
（2）法1：因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为$（cosα，\sqrt{3}sinα）$，
从而点Q到直线l的距离为 $d=\frac{{|cosα+\sqrt{3}sinα-8|}}{{\sqrt{1+1}}}$=$\frac{{8-2cos（α-\frac{π}{3}）}}{{\sqrt{2}}}=4\sqrt{2}-\sqrt{2}cos（α-\frac{π}{3}）$，
当$cos（α-\frac{π}{3}）=1$时，Q到直线l的距离d的最小值为$3\sqrt{2}$，
当$cos（α-\frac{π}{3}）=-1$时，Q到直线l的距离d的最大值为$5\sqrt{2}$，
法2：直线l的平行线n方程可设为：x+y+t=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+\frac{y^2}{3}=1\\ x+y+t=0\end{array}\right.$得 3x²+（x+t）²=3，即 4x²+2tx+t²-3=0，
△=4t²-16（t²-3）=-12t²+48=0⇒t=±2，
曲线C的两切线方程为 x+y+2=0与x+y-2=0，
Q到直线l的距离d的最大值为 $d=\frac{|2-（-8）|}{{\sqrt{1+1}}}=5\sqrt{2}$，
Q到直线l的距离d的最小值为 $d=\frac{|-2-（-8）|}{{\sqrt{1+1}}}=3\sqrt{2}$．