Question

13．已知f（x）=x²-（a+b）x+3a．
（1）若不等式f（x）≤0的解集为[1，3]，求实数a，b的值；
（2）若b=3，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系即可求出a、b的值；
（2）利用分类讨论法求出b=3时不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²-（a+b）x+3a，
当不等式f（x）≤0的解集为[1，3]时，
方程x²-（a+b）x+3a=0的两根为1和3，
由根与系数的关系得
$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1+3}\\{3a=1×3}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f（x）＞0可化为
x²-（a+3）x+3a＞0，
即（x-a）（x-3）＞0；
∴当a＞3时，原不等式的解集为：{x|x＜3或x＞a}；
当a＜3时，原不等式的解集为：{x|x＜a或x＞3}；
当a=3时，原不等式的解集为：{x|x≠3，x∈R}．

点评 本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．