Question

15．如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2AB，且BC₁⊥A₁C
（1）求证：A₁C⊥平面ABC₁
（2）若D是A₁C₁的中点，在线段BB₁上是否存在点E，使DE∥平面ABC₁？若存在，指出点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁．推导出AC₁⊥A₁C．BC₁⊥A₁C，由此能证明A₁C⊥平面ABC₁．
（2）当点E是BB₁的中点时，取AA₁的中点F，推导出DF∥AC₁，EF∥AB，从而平面DEF∥平面ABC₁．由此得到DE∥平面ABC₁．

解答 证明：（1）连接AC₁．∵ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，AC=AA₁，
∴AC₁⊥A₁C．
又BC₁⊥A₁C，AC₁∩BC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面ABC₁．
解：（2）当点E是BB₁的中点时，DE∥平面ABC₁．
证明如下：
取AA₁的中点F，连接DF，EF．
∵D、E、F分别为A₁C₁，BB₁，AA₁的中点，
∴DF∥AC₁，EF∥AB，
∴DF∩EF=F，AC₁∩AB=A，
∴平面DEF∥平面ABC₁．
∵DE?平面DEF，∴DE∥平面ABC₁．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查满足线面平行的点的位置的确定与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．