Question

16．设函数f（x）=ax-bx²，a＞0，b＞1．求证：|f（x）|≤1对任意x∈[0，1]恒成立的充要条件是b-1≤a≤2$\sqrt{b}$．

Answer 1

分析 必要性：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≥-1．取x=1，可得a≥b-1．对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≤1，由b＞1，可得0＜$\frac{1}{\sqrt{b}}$＜1，利用$f（\frac{1}{\sqrt{b}}）$≤1，可得a≤2$\sqrt{b}$，即可证明．
充分性：由b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1．由b＞1，a≤2$\sqrt{b}$对任意x∈[0，1]，可以推出：2$\sqrt{b}$x-bx²≤-b$（x-\frac{1}{\sqrt{b}}）^{2}$+1≤1，即可证明-1≤f（x）≤1．

解答 证明：必要性：对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≥-1．
据此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，
∴a≥b-1．
对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1⇒f（x）≤1，
因为b＞1，可得0＜$\frac{1}{\sqrt{b}}$＜1，可推出$f（\frac{1}{\sqrt{b}}）$≤1，即a•$\frac{1}{\sqrt{b}}$-1≤1，
∴a≤2$\sqrt{b}$，
∴b-1≤a≤2$\sqrt{b}$．
充分性：因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈[0，1]，
可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1，即ax-bx²≥-1，
因为b＞1，a≤2$\sqrt{b}$对任意x∈[0，1]，
可以推出：2$\sqrt{b}$x-bx²≤-b$（x-\frac{1}{\sqrt{b}}）^{2}$+1≤1，即ax-bx²≤1，
∴-1≤f（x）≤1．
综上，当b＞1时，对任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2$\sqrt{b}$．

点评 本题考查了不等式的解法及其性质、二次函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．