Question

3．甲、乙两名运动员进行2016里约奥运会选拔赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为$\frac{1}{2}$，乙获胜的概率为$\frac{1}{2}$，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用A表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，A_K表示第K局甲获胜，B_K表示第K局乙获胜，分别求出相应的概率，由此能求出甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）用A表示“甲在3局以内（含3局）赢得比赛”，
A_K表示第K局甲获胜，B_K表示第K局乙获胜，
则$P（{A_K}）=\frac{1}{2}，P（{B_K}）=\frac{1}{2}，K=1，2，3，4，5$
∴甲在3局以内（含3局）赢得比赛的概率：
$P（A）=P（{A_1}{A_2}）+P（{B_1}{A_2}{A_3}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{3}{8}$…（5分）
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5，
$P（X=2）=P（{A_1}{A_2}）+P（{B_1}{B_2}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$P（X=3）=P（{B_1}{A_2}{A_3}）+P（{A_1}{B_2}{B_3}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，
$P（X=4）=P（{A_1}{B_2}{A_3}{A_4}）+P（{B_1}{A_2}{B_3}{B_4}）=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，
P（X=5）=P（A₁B₂A₃B₄A₅）+P（B₁A₂B₃A₄B₅）+P（A₁B₂A₃B₄B₅）+P（B₁A₂B₃A₄A₅）=$4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$…（10分）
故X的分布列为

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

∴$E（X）=2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{8}=\frac{23}{8}$．…（12分）

点评 本小题主要考查概率，古典概型，随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想．