Question

8．已知等比数列{a_n}、等差数列{b_n}，满足a₁＞0，b₁=a₁-1，b₂=a₂，b₃=a₃且数列{a_n}唯一．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，从而可得（q-1）²=$\frac{1}{{a}_{1}}$，从而结合数列{a_n}唯一可得a₁=1，q=2；从而解得．
（2）化简a_n•b_n=（2n-2）2^n-1，结合通项公式的形式可知利用错位相减法求其前n项和．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵b₁=a₁-1，b₂=a₂，b₃=a₃，且{b_n}为等差数列，
∴2a₂=（a₁-1）+a₃，
即2a₁q=（a₁-1）+a₁q²，
即（q-1）²=$\frac{1}{{a}_{1}}$，
∵数列{a_n}唯一，
∴q在{q|q≠0}上只有一个解，
∴（q-1）²=$\frac{1}{{a}_{1}}$中有一个解为q=0，
故$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，此时，a₁=1，q=2；
故数列{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
数列{b_n}是以0为首项，2为公差的等差数列；
故a_n=2^n-1，b_n=2n-2；
（2）a_n•b_n=（2n-2）2^n-1，
S_n=0•1+2•2+4×4+6×8+…+（2n-2）2^n-1，
2S_n=0•2+2•4+4×8+6×16+…+（2n-2）2ⁿ，
两式作差可得，
S_n=-2×2+（-2）×4+（-2）×8+…+（-2）×2^n-1+（2n-2）2ⁿ
=（2n-2）2ⁿ-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ）
=（n-1）2ⁿ⁺¹-$\frac{{2}^{2}（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$
=（n-2）2ⁿ⁺¹+4．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的应用，同时考查了错位相减法的应用及转化思想的应用．