Question

7．若曲线f（x）=x⁴-2x在点P处的切线垂直于直线x+2y+1=0，则点P的坐标为（1，-1）．

Answer 1

分析 求出已知直线的斜率，由两直线垂直的条件可得切线的斜率，求出f（x）=x⁴-2x的导数，设出切点P的坐标，可得切线的斜率，解方程可得切点的坐标．

解答 解：曲线f（x）=x⁴-2x在点P处的切线垂直于直线x+2y+1=0，
直线x+2y+1=0的斜率为-$\frac{1}{2}$，
可得曲线f（x）=x⁴-2x在点P处的切线的斜率k=2．
函数f（x）=x⁴-2x的导数为f′（x）=4x³-2，
设点p的坐标为（x₀，y₀），
将x=x₀代入f′（x）=4x³-2，
由4${{x}_{0}}^{3}$-2=2，
解得x₀=1．
y₀=f（1）=-1．
则P（1，-1）．
故答案为：（1，-1）．

点评 本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，要理解导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．