Question

18．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4$\sqrt{2}y$的焦点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线x=2与椭圆交于P，Q两点，P点位于第一象限，A，B是椭圆上位于直线x=2两侧的动点，满足直线PA与直线PB的倾斜角互补，证明直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，它的一个顶点恰好是抛物线x²=4$\sqrt{2}y$的焦点，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）当直线PA与直线PB的倾斜角互补时，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，直线PA的直线方程为y-1=k（x-2），与椭圆联立，得到${x}_{1}+2=\frac{8k（2k-1）}{1+4{k}^{2}}$，同理，PB的直线方程为y-1=-k（x-2），与椭圆联立，得x₂+2=$\frac{8k（2k+1）}{1+4{k}^{2}}$，由此能证明直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
它的一个顶点恰好是抛物线x²=4$\sqrt{2}y$的焦点（0，$\sqrt{2}$），
∴设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
则$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
证明：（Ⅱ）当直线PA与直线PB的倾斜角互补时，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为-k，
∴直线PA的直线方程为y-1=k（x-2），
由$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-2）}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+4k²）x²+8k（1-2k）x+4（1-2k）²-8=0，
∴${x}_{1}+2=\frac{8k（2k-1）}{1+4{k}^{2}}$，
同理，PB的直线方程为y-1=-k（x-2），
可得${x}_{2}+2=\frac{-8k（-2k-1）}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{8k（2k+1）}{1+4{k}^{2}}$，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，${x}_{1}-{x}_{2}=\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}$，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}-2）+1+k（{x}_{2}-2）-1}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{{x}_{1}-{x}_{2}}$
=$\frac{k•\frac{16{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}-4k}{\frac{-16k}{1+4{k}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$．
∴直线AB的斜率为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率是$\frac{1}{2}$的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆的性质、直线方程、韦达定理的合理运用．