Question

7．已知点E（-$\frac{p}{2}$，0），动点A，B均在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，若$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$的最小值为（　　）

• A． -2p²
• B． -p²
• C． 0
• D． 2p

Answer 1

分析 设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），可得向量EA，EB的坐标，运用向量数量积的坐标表示，结合配方法和非负数的概念，即可得到所求最小值0．

解答 解：设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），
则$\overrightarrow{EA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，y₁），$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$，y₂），
即有$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）•（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+$\frac{p}{2}$）+y₁y₂
=$\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{4{p}^{2}}$+$\frac{{p}^{2}}{4}$+$\frac{1}{4}$（y₁²+y₂²）+y₁y₂
=$\frac{1}{4{p}^{2}}$（y₁y₂+p²）²+$\frac{1}{4}$（y₁+y₂）²≥0，
当且仅当y₁y₂+p²=0，y₁+y₂=0，取得等号．
则$\overrightarrow{EA}$•$\overrightarrow{EB}$的最小值为0．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的标准方程，抛物线上的点的坐标的设法，根据点的坐标可求向量的坐标，以及向量数量积的坐标运算，考查配方的思想方法和非负数的概念，属于中档题．