Question

17．已知A（1，2），B（-1，2），动点P满足$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 设P（x，y），由动点P满足AP⊥BP，即有x²+（y-2）²=1，求出双曲线的渐近线方程，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a²＞b²，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到范围．

解答 解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（-1，2），
动点P满足$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BP}$，
则（x-1，y-2）•（x+1）（y-2）=0，
即（x-1）（x+1）+（y-2）²=0，
即有x²+（y-2）²=1，
设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，
由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，
则d=$\frac{|2a|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$＞1，
即有3a²＞b²，由于b²=c²-a²，
则c²＜4a²，即c＜2a，则e=$\frac{c}{a}$＜2，
由于e＞1，则有1＜e＜2．
故答案为：（1，2）．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．