Question

如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层EFGH-E₁F₁G₁H₁转动α，如图乙，设α的对边长为x

（1）试用α表示x；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把魔方中间的一层EFGH-E₁F₁G₁H₁转动α，根据正方体的边长为3，可得边长被截得的三段长分别为x，，，进而可用α表示x；
（2）魔方增加的表面积为S=8-，结合（1）可得S=，α∈（0，），令t=sinα+cosα=sin（α+），t∈（1，]，利用分析法可得函数的最值．
解答：解：（1）由题意得x++=3，
解得x==，α∈（0，），（6分）
（2）魔方增加的表面积为S=8×，
由（1）得S=，α∈（0，），（10分）
令t=sinα+cosα=sin（α+），t∈（1，]，
则S==36（1-）≤36×（1-）=108-72
（当且仅当t=，即时等号成立），
答：当时，魔方增加的表面积最大为108-72．（12分）
点评：本题考查的知识点是求函数的解析式，函数的最值，其中根据边长被截得的三段长分别为x，，，用α表示x是解答的关键．