题目内容

已知函数f（x）=sinωx+cosωx（1＜ω＜3）的一条对称轴方程为x=
π
8
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f2（
α
2
）=f2（
β
2
），α，β∈(0，
π
2
)，且α≠β，求α+β的值．
考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）根据x=
π
8
是f（x）=
2
sin（ωx+
π
4
） 的图象的一条对称轴，可得ω•
π
8
+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈z，由此可得ω的值．
（2）由已知可得：sin2（2×
α
2
+
π
4
）=sin2（2×
β
2
+
π
4
），由二倍角公式解得：sin2α=sin2β，由2α，2β∈（0，π），且α≠β，可解得2α=π-2β，从而可求α+β的值．
解答： 解：（1）∵f（x）=sinωx+cosωx=
2
sin（ωx+
π
4
），
∵x=
π
8
是f（x）=sinωx+cosωx=
2
sin（ωx+
π
4
） 的图象的一条对称轴，
∴ω•
π
8
+
π
4
=kπ+
π
2
，k∈z，
∴ω=8k+2，k∈z，
∵1＜ω＜3，
∴ω=2，
∴由三角函数的周期性及其求法可得：T=
2π
ω
=
2π
2
=π．
（2）∵f（
α
2
）=
2
sin（ω
α
2
+
π
4
），f（
β
2
）=
2
sin（ω
β
2
+
π
4
），ω=2，
∴由已知可得：sin2（2×
α
2
+
π
4
）=sin2（2×
β
2
+
π
4
），
∴由二倍角公式可得：
1-cos(2α+
π
2
)
2
=
1-cos(2β+
π
2
)
2
，解得：sin2α=sin2β．
∵2α，2β∈（0，π），且α≠β，
∴可解得：2α=π-2β，
∴可得：α+β=
π
2
．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、正弦函数的对称性，考查了三角函数的周期性及其求法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知平面α的一个法向量
a
=（x，2y-1，-
1
4
），又
b
=（-1，2，1），
c
=（3，
1
2
，-2）且
b
，
c
在α内，则
a
=（　　）
A、（-
9
52
，-
53
26
，-
1
4
）
B、（-
9
52
，-
27
52
，-
1
4
）
C、（-
9
52
，
1
26
，-
1
4
）
D、（-
27
52
，-
53
26
，-
1
4
）
函数f（x）=log2x+
ex
x
的导数是
 
．
若函数f（x）的定义域为[-1，3]，则函数f（3-2x）的定义域是．
已知点P（sinα+cosα，tanα）在第二象限，则角α的取值范围是
 
．
直线l被两直线l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得线段中点是M（0，1），求l方程．
根据条件确定角α属于哪个象限的角或角的终边位置．
（1）sin（2kπ+α）＞0（k∈Z），且cosα≤0；
（2）（
1
2
）sin2θ＞1，且tanθ•sinθ＜0．
已知两直线l1：mx+8y+n=0和l2：2x+my-1=0，若l1⊥l2且l1在y轴上的截距为-1，则m，n的值分别为（　　）
A、2，7B、0，8
C、-1，2D、0，-8
已知tanα=3，求
4sinα-3cosα
7sinα+3cosα
的值．

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