Question

11．以下四个命题中：
①已知圆C上一定点A和一动点B，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$），则动点P的轨迹为圆；
②设A、B为两个定点，k为非零常数，|$\overrightarrow{PA}}$|-|${\overrightarrow{PB}}$|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，则双曲线C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1与C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的离心率相同；
④已知两定点F₁（-1，0），F₂（1，0）和一动点P，若|PF₁|•|PF₂|=a²（a≠0），则点P的轨迹关于原点对称．
其中正确命题的序号为①③④        ．

Answer 1

分析 ①由题意，CP⊥AB，可得动点P的轨迹为以CA为直径的圆；②利用双曲线的定义，即可得出结论；③求出离心率，即可判断；④化简整理，即可分析其正误．

解答 解：①由题意，CP⊥AB，∴动点P的轨迹为以CA为直径的圆，正确；
②平面内与两个定点F₁，F₂的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线，①中当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，∴不正确；
③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，则双曲线C₁：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1与C₂：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的离心率相同，都为$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$，正确；
④设P（x，y）为曲线|PF₁|•|PF₂|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上任意一点，
则P（x，y）关于原点（0，0）的对称点为P′（-x，-y），可得P′（-x，-y）也在曲线$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）上，
∴点P的轨迹曲线$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}$=a²（a≠0）关于原点对称，即④正确；
综上所述，正确的是①③④．
故答案为①③④．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查圆锥曲线的概念及应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．