Question

10．已知$\overrightarrow m$=（cosωx，$\sqrt{3}$cos（ωx+π）），$\overrightarrow n$=（sinωx，cosωx），其中ω＞0，f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$，且f（x）相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（I）若f（${\frac{α}{2}}$）=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，α∈（0，$\frac{π}{2}}$），求cosα的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （I）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换，化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得ω的值，得到f（x）的解析式，从而利用同角三角函数基本关系、两角差的余弦公式，求得cosα的值．
（Ⅱ）根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得函数y=g（x）的单调递增区间．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=sinωx•cosωx+$\sqrt{3}$cos（ωx+π）•cosωx
=sinωx•cosωx-$\sqrt{3}$cosωx•cosωx=$\frac{sin2ωx}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}（1+cos2ωx）$
=sin（2ωx-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由于f（x）相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1．
故f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）∵f（${\frac{α}{2}}$）=sin（α-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∵α∈（0，$\frac{π}{2}}$），∴α-$\frac{π}{3}$∈（-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$），∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{{1-sin}^{2}（α-\frac{π}{3}）}$=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴cosα=cos[（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=cos（α-$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$-sin（α-$\frac{π}{3}$）•sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{\sqrt{13}}{4}•\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{13}-3}{8}$．
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
可得y=sin（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的图象，
然后向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数y=g（x）=sin[（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{3}$]-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin（x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$的图象，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得函数y=g（x）的单调递增区间为[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．