Question

已知直线l：y=2x-1与抛物线C：y²=2px（p＞0）交于A、B两点，若抛物线上存在点M，使△MAB的重心恰好是抛物线C的焦点F，则p=______．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F（

p

2

，0）
联立方程

y=2x-1 y2=2px

整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0
∴x1+x2=

p+2

2

，y₁+y₂=2（x₁+x₂）-2=p
由三角形的重心坐标公式可得，

p 2 = x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3

∴

x3= p-1 y3=-p

，代入抛物线的方程可得（-p）²=2p（p-1）
∴p=2
故答案为：2