Question

4．设D、E是△ABC所在平面内不同的两点，且$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），$\overrightarrow{AE}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$，则△ABE和△ABD的面积比$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}$为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{3}{4}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据条件可画出图形，将$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$带入$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$进行向量的数乘运算即可得出$\overrightarrow{EC}=2\overrightarrow{BE}$，从而得出$BE=\frac{2}{3}BC$，并且$BD=\frac{1}{2}BC$，这样便可求出$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}$的值．

解答 解：如图，根据条件D为BC的中点，E在BC上；
由$\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$得，
$\frac{2}{3}\overrightarrow{AE}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$；
∴$\frac{2}{3}（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}）=\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}）$；
∴$\overrightarrow{EC}=2\overrightarrow{BE}$；
∴$BE=\frac{1}{3}BC$，且$BD=\frac{1}{2}BC$；
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△ABD}}=\frac{\frac{1}{3}BC}{\frac{1}{2}BC}=\frac{2}{3}$．
故选：B．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，向量减法的几何意义，以及三点共线的充要条件，三角形的面积公式．