Question

若4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ为完全平方数，则正整数n满足

1. A.
   n≥1972
2. B.
   n≤1972
3. C.
   n≥1973
4. D.
   n≤1970

Answer 1

B
分析：通过提公因式，把原式整理成完全平方式的形式，从而推出n的值，进而通过反正的方式进行排除选项得解．
解答：因为4²⁷+4¹⁰⁰⁰+4ⁿ=2⁵⁴（1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54），
所以当2n-54=2×1945，即n=1972时，上式为完全平方数．
当n＞1972时，有（2^n-27）²＜1+2•2¹⁹⁴⁵+2^2n-54＜1+2•2^n-27+2^2（n-27）=（2^n-27+1）²，
所以上式不可能为完全平方数．
故选B．
点评：本题重点考察了完全平方式的形式以及做选择题的排除法．难点在于怎样排除选项．