Question

16．已知a＞1，设命题P：a（x-2）+1＞0，命题Q：（x-1）²＞a（x-2）+1．试求使得P、Q都是真命题的x的集合．

Answer 1

分析 由a的范围分别求解一元一次不等式及一元二次不等式，然后分1＜a＜2，a=2及a＞2三种情况讨论求得使得P、Q都是真命题的x的集合．

解答 解：∵a＞1，依题意，求使得P：a（x-2）+1＞0，Q：（x-1）²＞a（x-2）+1都是真命题的x的集合为P，Q，
∴$P=\left\{{x\left|{x＞2-\frac{1}{a}}\right.}\right\}$，Q={x|（x-1）²＞a（x-2）+1}={x|（x-2）（x-a）＞0}．
①当1＜a＜2时，则有$\left\{\begin{array}{l}{x＞2-\frac{1}{a}}\\{x＞2或x＜a}\end{array}\right.$，而$a-（2-\frac{1}{a}）=a+\frac{1}{a}-2＞0$，∴$a＞2-\frac{1}{a}$，
即当1＜a＜2时，使得P、Q都是真命题的x的集合为{x|x＞2或2-$\frac{1}{a}$＜x＜a}；
②当a=2时，可得使得P、Q都是真命题的x的集合为{x|x＞$\frac{3}{2}$且x≠2}；
③当a＞2时，则有$\left\{\begin{array}{l}{x＞2-\frac{1}{a}}\\{x＞a或x＜2}\end{array}\right.$，此时使得P、Q都是真命题的x的集合为{x|x＞a或2-$\frac{1}{a}$＜x＜2}．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了分类讨论的数学思想方法，考查数学转化思想方法，是中档题．