Question

9．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+y²=1（a＞1），
（1）若A（0，1）到焦点的距离为$\sqrt{3}$，求椭圆的离心率．
（2）Rt△ABC以A（0，1）为直角顶点，边AB、AC与椭圆交于两点B、C．若△ABC面积的最大值为$\frac{27}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）由A（0，1）到焦点的距离为$\sqrt{3}$，可得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$，即可得出e=$\frac{c}{a}$．
（2）不妨设AB斜率k＞0，则AB：y=kx+1，AC：y=$-\frac{1}{k}x+1$．分别与椭圆方程联立可得：${x_B}=-\frac{{2{a^2}k}}{{1+{a^2}{k^2}}}$，${x_C}=\frac{{2{a^2}k}}{{{k^2}+{a^2}}}$，|AB|=$\sqrt{{x}_{B}^{2}+（{y}_{B}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，|AC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．S=$\frac{1}{2}$|AB||AC|=2a⁴×$\frac{k+\frac{1}{k}}{{a}^{2}（k+\frac{1}{k}）^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$，令$k+\frac{1}{k}$=t≥2，通过换元利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）∵A（0，1）到焦点的距离为$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（2）不妨设AB斜率k＞0，则AB：y=kx+1，AC：y=$-\frac{1}{k}x+1$．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（1+a²k²）x²+2a²kx=0，
解得${x_B}=-\frac{{2{a^2}k}}{{1+{a^2}{k^2}}}$，同理${x_C}=\frac{{2{a^2}k}}{{{k^2}+{a^2}}}$，
|AB|=$\sqrt{{x}_{B}^{2}+（{y}_{B}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{2}k\sqrt{1+{k}^{2}}}{1+{a}^{2}{k}^{2}}$，同理可得：|AC|=$\frac{2{a}^{2}\sqrt{1+{k}^{2}}}{{a}^{2}+{k}^{2}}$．
S=$\frac{1}{2}$|AB||AC|=2a⁴×$\frac{k（1+{k}^{2}）}{{a}^{2}{k}^{4}+{a}^{4}{k}^{2}+{k}^{2}+{a}^{2}}$=2a⁴×$\frac{k+\frac{1}{k}}{{a}^{2}（k+\frac{1}{k}）^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$，
令$k+\frac{1}{k}$=t≥2，
则S=2a⁴×$\frac{t}{{a}^{2}{t}^{2}+（{a}^{2}-1）^{2}}$=$\frac{2{a}^{4}}{{a}^{2}t+\frac{（{a}^{2}-1）^{2}}{t}}$≤$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}$，当且仅当t=$\frac{{a}^{2}-1}{a}$≥2，即a$≥1+\sqrt{2}$时取等号．
由$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}-1}=\frac{27}{8}$，解得a=3，或a=$\frac{3+\sqrt{297}}{16}$（舍去）．
1＜a＜1+$\sqrt{2}$时无解．
∴a=3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、两点之间的距离公式、基本不等式的性质、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．