Question

已知：椭圆C

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为e=

1

2

，且椭圆与x轴的两个交点之间的距离为4
（1）求椭圆的标准方程
（2）若直线L：y=kx+m与椭圆相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知得到2a，结合离心率求出c，由b²=a²-c²求得b²，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，设出两交点A，B的坐标，利用根与系数关系写出两交点横坐标的和与积，由以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点得到

AM

•

BM

=0，代入向量坐标后结合根与系数关系得到k与m的关系，进一步由直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解答：（1）解：依题意知2a=4，则a=2，
又e=

c

a

=

1

2

，∴c=1，得b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的方程是：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
知椭圆C的右顶点为M（2，0），
由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
且△=3+4k²-m²，
x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1x2=

4(m2-3)

3+4k2

．
而AM⊥BM，即

AM

•

BM

=0，
∴

(x1-2，y1)•(x2-2，y2)=0 y1=kx1+m y2=kx2+m

⇒(1+k2)x1x2+(mk-2)(x1+x2)+m2+4=0，
∴(1+k2)•

4(m2-3)

3+4k2

-(mk-2)•

8mk

3+4k2

+m2+4=0，
整理得7m²+16mk+4k²=0，即（m+2k）（7m+2k）=0，
当m=-2k时，l：y=k（x-2）过定点（2，0）为右顶点，与已知矛盾；
当m=-

2

7

k时，l：y=k(x-

2

7

)过定点(

2

7

，0)，此时△=3+4k²-m²＞0；
综上知，直线l过定点(

2

7

，0)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和数学转化思想方法，训练了利用向量数量积判断两个向量的垂直关系，是高考试卷中的压轴题．