Question

1．已知f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+{3}^{x}+…+{n}^{x}a}{n}$，其中a∈R，n∈N^*，n≥2．
（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2^x-1）有解，求实数a的取值范围；
（2）如果f（x）当x∈（-∞，1]时有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把原不等式化为$\frac{1}{2}+a•{2}^{x-1}＞x•{2}^{x-1}$＞0，进一步转化为$a＞x-\frac{1}{{2}^{x}}$（x＞0）有解，利用函数单调性求出$x-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上的范围得答案；
（2）f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2^x+…+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2恒成立．分离参数a，可得a＞-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]恒成立，
利用函数单调性求得y=-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]在（-∞，1]上的最大值得答案．

解答 解：（1）当n=2时，不等式f（x）＞lg（x2^x-1）化为$lg\frac{1+a•{2}^{x}}{2}＞lg（x{2}^{x-1}）$，
即$\frac{1}{2}+a•{2}^{x-1}＞x•{2}^{x-1}$＞0，
∵2^x-1＞0，∴等价于$a＞x-\frac{1}{{2}^{x}}$（x＞0）有解，
∵y=x与y=$-\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上都是增函数，则y=x-$\frac{1}{{2}^{x}}$在（0，+∞）上是增函数，
而$x-\frac{1}{{2}^{x}}＞0-\frac{1}{{2}^{0}}=-1$，
∴要使n=2时不等式f（x）＞lg（x2^x-1）有解，则实数a的取值范围为（-1，+∞）；
（2）f（x）当x∈（-∞，1]时有意义的条件是1+2^x+…+n^xa＞0，x∈（-∞，1]，n≥2恒成立．
即a＞-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]恒成立，
∵y=-$（\frac{k}{n}）^{x}$，k=1，2，3，…，n-1在（-∞，1]上都是增函数，
∴y=-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]在（-∞，1]上都是增函数，
从而当x=1时，${y}_{max}=-（\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+…+\frac{n-1}{n}）=-\frac{1}{2}（n-1）$．
∴a＞-[$（\frac{1}{n}）^{x}+（\frac{2}{n}）^{x}+…+（\frac{n-1}{n}）^{x}$]（n≥2）恒成立，只需a$＞-\frac{1}{2}$．
故实数a的取值范围是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的性质的应用，考查了不等式恒成立问题，关键是注意利用单调性求解最值问题，是中档题．