题目内容

9．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M是棱AB上异于点A的一点，点P是平面ABCD内的一动点，且点P到直线A1D1的距离的平方比到点M的距离的平方大4，则点P的轨迹形状为（　　）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．设P（x，y，0），M（2，t，0）（t∈（0，2]）．过点P作PE⊥AD交AD于点E，过点E作EQ⊥A1D1交于点Q，则PE=y，EQ=2．根据点P到直线A1D1的距离的平方比到点M的距离的平方大4，即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
设P（x，y，0），M（2，t，0）（t∈（0，2]）．
过点P作PE⊥AD交AD于点E，过点E作EQ⊥A1D1交于点Q，
则PE=y，EQ=2．
∵点P到直线A1D1的距离的平方比到点M的距离的平方大4，
∴y2+4=（x-2）2+（y-t）2，化为：（x-2）2=2t（y-t），（y＞t）．
∴点P的轨迹形状为抛物线．
故选：D．

点评 本题考查了正方体的性质、圆锥曲线的定义、两点之间的距离公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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