Question

16．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁，F₂，A点在椭圆上，离心率$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AF₂与x轴垂直，且|AF₂|=$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点A在第一象限，过点A作直线l，与椭圆交于另一点B，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意求出椭圆方程，
（2）然后求出和OA平行且和椭圆相切的直线方程，把切点到直线OA的距离转化为原点O到切线的距离，则三角形AOB面积的最大值可求．

解答 解（1）：由题意$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{a}=\sqrt{2}$，a²=b²+c²
解得a=2$\sqrt{2}$，b=c=2，
则椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$
（2）要使△AOB面积最大，则B到OA所在直线距离最远．
设与OA平行的直线方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+b$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+b}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$消去y并化简得．x²+$\sqrt{2}b$x+b²-4=0．
由△=0得b=±2$\sqrt{2}$，
不妨取b＞0，
∴与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$，
则B到直线OA的距离等于O到直线：y=$\frac{\sqrt{2}}{2}x+2\sqrt{2}$，
的距离d，d=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，又|OA|=$\sqrt{6}$，
△AOB面积的最大值s=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{4\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．