Question

7．在平面直角坐标系中，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左顶点为A，上顶点为B且△AOB的面积为4．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l：y=x+m交椭圆E于点G，H，原点O到直线l的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，试判断点O与以线段GH为直径的圆的位置关系，并给出理由．

Answer 1

分析 （1）A（-a，0），B（0，b），S_△AOB=$\frac{1}{2}$ab=4，可得ab=8，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，联立解得即可得出．
（2）点O在以线段GH为直径的圆上．证明如下：设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．直线方程与椭圆方程化为：5x²+8mx+4m²-16=0，△＞0．原点O到直线l的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，可得5m²=32．把根与系数关系代入可得$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=x₁x₂+y₁y₂=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0，即可证明结论．

解答 解：（1）A（-a，0），B（0，b），S_△AOB=$\frac{1}{2}$ab=4，可得ab=8，又$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，
联立解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，b=2．
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）点O在以线段GH为直径的圆上．证明如下：设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，化为：5x²+8mx+4m²-16=0，
△=64m²-20（4m²-16）＞0，化为：m²＜20．
∴x₁+x₂=$\frac{-8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-16}{5}$，
∵原点O到直线l的距离为$\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$，
∴$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，可得5m²=32．
∵$\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{OH}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=m×$\frac{-8m}{5}$+2×$\frac{4{m}^{2}-16}{5}$+m²=$\frac{5{m}^{2}-32}{5}$=0，
∴$\overrightarrow{OG}⊥\overrightarrow{OH}$，
∴点O在以线段GH为直径的圆上．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、数量积运算性质、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．