Question

9．若将向量$\overrightarrow{a}$=（1，2）绕原点按顺时针方向旋转$\frac{π}{4}$得到向量$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{b}$的坐标是（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 求出向量$\overrightarrow{a}$的模即向量$\overrightarrow{b}$的模，设出$\overrightarrow{b}$的坐标，根据两角差的正切公式求出tanβ，根据勾股定理求出$\overrightarrow{b}$的坐标即可．

解答 解：如图示：
，
由题意得：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$，
∵tanα=$\frac{2}{1}$=2，
∴tanβ=tan（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanα-tan\frac{π}{4}}{1+tanαtan\frac{π}{4}}$=$\frac{1}{3}$，
设$\overrightarrow{b}$=（x，y），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=3y}\\{{x}^{2}{+y}^{2}=5}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$，
故答案为：（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查了向量的运算，考查两角差的正切公式，是一道基础题．