Question

5．已知数列{a_n}，a₁=1，且a_n-1-a_n-1a_n-a_n=0（n≥2，n∈N^*），记b_n=a_2n-1a_2n+1，数列{b_n}的前n项和为T_n，则满足不等式T_n＜$\frac{8}{17}$成立的最大正整数n为7．

Answer 1

分析 先根据递推公式求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，求出a_n，再求出b_n，根据裂项求和求出T_n，再解不等式即可．

解答 解：∵a_n-1-a_n-1a_n-a_n=0，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}}$=1，
∵a₁=1，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+n-1=n，
即a_n=$\frac{1}{n}$，
当n=1是成立，
∴b_n=a_2n-1a_2n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$，
∵T_n＜$\frac{8}{17}$，
∴$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{8}{17}$，
∴2n+1＜17，
即n＜8，
∴满足不等式T_n＜$\frac{8}{17}$成立的最大正整数n为7，
故答案为：7．

点评 本题主要考查了等差数列的定义、数列求和问题，考查不等式与数列的综合，考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．