Question

5．以直角坐标系原点为极点，Ox轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1．
（1）求直线l的直角坐标方程；
（2）求直线l被曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数）所截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）根据公式ρ•sinθ=y，ρ•cosθ=x求出直线l的直角坐标方程；
（2）将曲线C的参数方程化为普通方程，可得曲线C为圆，求出圆心到直线l的距离，根据弦长公式求出弦长．

解答 解：（1）∵直线l极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=1
由$sinθ=\frac{y}{ρ}$，$cosθ=\frac{x}{ρ}$得：ρ•sinθ=y，ρ•cosθ=x
于是由直线l极坐标方程ρsinθ+ρcosθ=1得：
直线l直角坐标方程是：x+y-1=0；
（2）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{5}cosα\\ y=1+\sqrt{5}sinα\end{array}\right.$（α为参数）消参得：（x-2）²+（y-1）²=5，
其图象是圆心为（2，1），半径为$\sqrt{5}$的圆．
∴圆心到直线l的距离为$d=\frac{2}{{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$，
∴弦长为$2\sqrt{{{（\sqrt{5}）}^2}-{{（\sqrt{2}）}^2}}=2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了直角坐标和极坐标的互化，考查了直线和圆相交的弦长公式的运用，属于基础题．