题目内容

在△ABC中，已知AB=6，B=60°，cos（B+C）=-
2
7
7
，若D为△ABC外接圆劣弧
A
C
上的动点．
（1）求sinC；
（2）求△ACD的面积的最大值．
考点：正弦定理,余弦定理
专题：计算题,解三角形
分析：（1）由已知先求得cosA=
2
7
7
，sinA=
21
7
，从而可求sinC的值．
（2）∵由正弦定理先解得：AC=3
7
，由余弦定理可得：AD•DC≤21，从而求得△ACD的面积的最大值．
解答： 解：（1）∵cos（π-A）=-cosA=cos（B+C）=-
2
7
7
，0＜A＜π
∴cosA=
2
7
7
，sinA=
1-cos2A
=
21
7
，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
21
7
×
1
2
+
2
7
7
×
3
2
=
2
21
14
．
（2）∵由正弦定理知：
AC
sinB
=
AB
sinC
=
AC
3
2
=
6
2
21
14

∴解得：AC=3
7
，
∵∠ADC=π-∠B=120°由余弦定理可得：cos∠ADC=
AD2+DC2-AC2
2AD•DC
，即有-
1
2
=
AD2+DC2-63
2AD•DC

∴整理可得：63=AD2+DC2+AD•DC
∴63≥3AD•DC
∴AD•DC≤21，
∴S△ADC=
1
2
AD•DC•sin120°=
3
4
×AD×DC≤
3
4
×21=
21
3
4
．
点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．
练习册系列答案
相关题目
设双曲线Γ的方程为
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)，斜率为k的直线l过双曲线Γ的右焦点且交双曲线Γ于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率为k1，k2．
（1）若双曲线Γ的一条渐近线的倾斜角为60°，顶点到渐近线的距离为
3
2
，求双曲线Γ的方程；
（2）在（1）中双曲线Γ的方程的条件下，求k1•k2的值（计算的结果用k表示）；
（3）若点M为双曲线Γ上的一点，且存在锐角θ使得
OM
=cosθ•
OA
+sinθ•
OB
，问此时k1•k2是否可能为定值？并说明理由．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）画出二面角A-B1C-C1的平面角；
（2）求证：面BB1DD1⊥面AB1C．
△ABC一边BC在平面α内，顶点A在平面α外，已知∠ABC=
π
3
，三角形所在平面与α所成的二面角为
π
6
，则直线AB与α所成角的正弦值为（　　）
A、
3
2
B、
1
4
C、
1
2
D、
3
4
已知正三棱锥P-ABC的体积为
6
2
，外接球球心为O，且满足
OA
+
OB
+
OC
=
0
，则正三棱锥P-ABC的外接球半径为
 
．
某班有八组，每组有7名同学共56人．
（1）该班优胜组（组内3名女生与4名男生）站成一排合影，女生站一起共有多少种站法？每个女生不相邻共有多少种站法？女生甲乙丙从左右的顺序一定有多少种站法？（用数字作答）；
（2）从此班随机选三人，这三人恰来自不同组的概率是多少？这三人恰好来自两组的概率是多少？（分数作答）
设函数sgn（x）=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，求函数f（x）=sgn（lnx）-ln2x的零点．
若
AC
=
a
+
b
，
DB
=
a
-
b
．
（1）当
a
、
b
满足什么条件时，
a
+
b
与
a
-
b
垂直？
（2）当
a
、
b
满足什么条件时，|
a
+
b
|=|
a
-
b
|？
（3）当
a
、
b
满足什么条件时，
a
+
b
平分
a
与
b
所夹的角？
（4）
a
+
b
与
a
-
b
可能是相等向量吗？
在约束条件
x≥0
y≥0
x+2y≤m
2x+y≤4
下，若目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[6，8]，则实数m的取值范围是（　　）
A、[3，8）
B、[3，+∞）
C、[2，8]
D、[2，+∞）

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