Question

7．已知函数f（x）=2x-$\frac{a}{x}$，且f（$\frac{1}{2}$）=3．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据f（$\frac{1}{2}$）=3，得到关于a的方程，解出即可；（2）根据函数的单调性的定义证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）=2x-$\frac{a}{x}$，且f（$\frac{1}{2}$）=3，
∴f（$\frac{1}{2}$）=1-2a=3，解得：a=-1；
（2）由（1）得：f（x）=2x+$\frac{1}{x}$，f（x）在（1，+∞）递增，
证明如下：
设x₁＞x₂＞1，
则f（x₁）-f（x₂）=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（$\frac{{{2x}_{1}x}_{2}-1}{{{x}_{1}x}_{2}}$），
∵x₁＞x₂＞1，
∴x₁-x₂＞0，2x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）递增．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查函数求值问题，是一道基础题．