Question

3．试讨论函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在区间[0，1]上的单调性．

Answer 1

分析 f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在区间[0，1]上是减函数，理由如下：
证法一：设x₁、x₂∈-1，1]且x₁＜x₂，作差判断出f（x₁）＞f（x₂）可得：f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在区间[0，1]上是减函数；
证法二：求导，根据当x∈[0，1）时，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立，当x=1时，f（x）=0可得：f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在区间[0，1]上是减函数；

解答 解：f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在区间[0，1]上是减函数，理由如下：
证法一：设x₁、x₂∈-1，1]且x₁＜x₂，即-1≤x₁＜x₂≤1．
f（x₁）-f（x₂）=$\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}$-$\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$=$\frac{（1-{{x}_{1}}^{2}）-（1-{{x}_{2}}^{2}）}{\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$=-$\frac{（{x}_{2}-{{x}_{1}}^{\;}）-（{x}_{2}+{x}_{1}）}{\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}}$，
∵x₂-x₁＞0，$\sqrt{1-{{x}_{1}}^{2}}+\sqrt{1-{{x}_{2}}^{2}}$＞0，
∴当x₁＞0，x₂＞0时，x₁+x₂＞0，
那么f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在区间[0，1]上是减函数；
证法二：∵函数f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$，令y=$\sqrt{u}$，u=1-x²，
则y′=$\frac{1}{2\sqrt{u}}$，u′=-2x．
∴f′（x）=$\frac{-x}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
当x∈[0，1）时，f′（x）≤0恒成立，f（x）＞0恒成立
当x=1时，f（x）=0
故f（x）=$\sqrt{1-{x}^{2}}$在区间[0，1]上是减函数；

点评 本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，利用导数法研究函数的单调性，难度中档．