题目内容

已知 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若 $数学公式$ ，求sin2x的值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =cos²x-sin²x+2 $\text{[math]}$ sinxcosx=cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），
故函数的最小正周期 T= $\text{[math]}$ =π．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．又 $\text{[math]}$ ，∴cos（2x+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ．
∴sin2x=sin[（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]=sin（2x+ $\text{[math]}$ ） cos $\text{[math]}$ -cos（2x+ $\text{[math]}$ ） sin $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用二倍角公式和两角和差的正弦公式化简函数的解析式为 2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），由最小正周期 T= $\text{[math]}$ 求出结果．
（2）由题意可得sin（2x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ ，可得cos（2x+ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ，根据sin2x=sin[（2x+ $\text{[math]}$ ）- $\text{[math]}$ ]，利用两角差的正弦公式求出结果．
点评：本题主要考查两角和差的正弦公式，三角函数的周期性及求法，二倍角公式的应用，化简函数的解析式为 2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），是解题的突破口．