Question

如图，是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图．在直观图中，M是BD的中点．侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．
（Ⅰ）求出该几何体的体积；
（Ⅱ）求证：EM∥平面ABC；
（?）试问在棱DC上是否存在点N，使NM⊥平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：由题意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB⊥AC，且AB=AC=2
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AB，又AB⊥AC，
∴AB⊥平面ACDE
∴四棱锥B﹣ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面积S=6
∴，即所求几何体的体积为4
（Ⅱ）证明：．M为DB的中点，取BC中点G，连接EM，MG，AG，
∴MG∥DC，且MG=DC∴MGAE，
∴四边形AGME为平行四边形，
∴EM∥AG，又AG平面ABC
∴EM∥平面ABC．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，EM∥AG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD
在平面BCD中，过M作MN⊥DB交DC于点N，
∴MN⊥平面BDE，点N即为所求的点，
∵△DMN∽△DCB∴
∴∴边DC上存在点N，满足DN=DC时，有NM⊥平面BDE．