Question

4．已知等差数列{a_n}的公差不等于零，前n项和为S_n，a₅=9且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令${b_n}=\frac{{{a_n}-1}}{{{2^{a_n}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由已知得：a₅=a₁+4d=9，$S_2^2={S_1}{S_4}$，即（$2{a_1}+d{）^2}={a_1}（4{a_1}+6d）$=a₁$（4{a}_{1}+\frac{4×3}{2}d）$．
∵d≠0，∴d=2a₁，
∴a₁=1，d=2，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）${b_n}=\frac{{{a_n}-1}}{{{2^{a_n}}}}=\frac{2（n-1）}{{{2^{2n-1}}}}=（n-1）\frac{1}{{{2^{2n-2}}}}=（n-1）\frac{1}{{{4^{n-1}}}}$，
${T_n}=0×\frac{1}{4^0}+1×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{4^2}+…+（n-1）×\frac{1}{{{4^{n-1}}}}$，
$\frac{1}{4}{T_n}=0×\frac{1}{4}+1×\frac{1}{4^2}+…+（n-2）×\frac{1}{{{4^{n-1}}}}+（n-1）×\frac{1}{4^n}$，$（1-\frac{1}{4}）{T_n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+…+\frac{1}{{{4^{n-1}}}}-（n-1）×\frac{1}{4^n}=\frac{{\frac{1}{4}-\frac{1}{4^n}}}{{1-\frac{1}{4}}}-（n-1）×\frac{1}{4^n}=\frac{1}{3}-\frac{3n+1}{{3×{4^n}}}$，
${T_n}=\frac{4}{9}-\frac{3n+1}{{9×{4^{n-1}}}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．