Question

7．已知向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$满足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=2，且$\overrightarrow b$⊥（2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b}$），则向量$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意可得$2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=0$，求得$cosα=-\frac{1}{2}$，可得向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$的夹角的值．

解答 解：又$\overrightarrow b⊥（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）$，可得$\overrightarrow b•（{2\overrightarrow a+\overrightarrow b}）=0$，即$2\overrightarrow a•\overrightarrow b+{\overrightarrow b^2}=0$．
∵|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=2，∴2×2×2×cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞+4=0，
解得cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=-$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的取值范围为[0，π]，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{2π}{3}$，
即向量$\overrightarrow a与\overrightarrow b$的夹角为 $\frac{2π}{3}$，
故选：C．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，根据三角函数的值求角，属于基础题．