Question

某乡有A、B、C、D四个村庄，恰好座落在边长为2km的正方形顶点上，为发展经济，当地政府决定建立一个使得任何两个村庄都有通道的路网，道路网由一条中心道及四条支线组成，要求四条支道的长度相等．（如图所示）
（1）若道路的总长度不超过5.5km，试求中心道长的取值范围．
（2）问中心道长为何值时，道路网的总长度最短？

Answer 1

考点：不等式的实际应用

专题：应用题,不等式的解法及应用

分析：（1）以中心道长度为变量，建立道路网的总长度的解析式，由题意得2x+4

1+(1-x)2

≤5.5，解不等式，即可求中心道长的取值范围．
（2）利用判别式法，可求道路网的总长度最短．

解答：解：设中心道长度为2x km（0＜x＜1）．
（1）由题意得2x+4

1+(1-x)2

≤5.5，化简，得48x²-40x+7≤0．
解得

1

4

≤x≤

7

12

．
所以中心道长的取值范围是[

1

2

，

7

6

]．
（2）因为y=2x+4

1+(x-1)2

，
所以（y-2x）²=16（2-2x+x²）．
所以12x²+（4y-32）x+32-y²=0．①
因为0＜x＜1，所以△=（4y-32）²-4×12（32-y²）≥0．
由于y＞0，所以y≥2+2

3

．
将y_min=2+2

3

代入①得12x²+（8+8

3

-32）x+32-（2+2

3

）²=0
∴x=1-

3

3

答：当道路网长度不超过5.5 km时，中心道长的取值范围为[

1

2

，

7

6

]；中心道长为（2-

2 3

3

） km时，道路网总长度最短．

点评：在实际问题中建立函数关系时，首先要选取自变量，自变量选取恰当与否对于解决问题简便与否有直接的关系．