Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，则k＞0时，F（x）=f（f（x））+2的零点个数是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 通过讨论x的范围，结合对数函数的性质判断函数的零点个数即可．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1，x≤0}\\{\frac{lnx}{x}，x＞0}\end{array}\right.$，
（1）x＞1时，lnx＞0，$\frac{lnx}{x}$＞0，
∴y=f（f（x））+2=$\frac{ln\frac{lnx}{x}+2\frac{lnx}{x}}{\frac{lnx}{x}}$，此时的零点为x=1不满足要求，
（2）0＜x＜1时，lnx＜0，
∴y=f（f（x））+1=klnx+1，
则k＞0时，有一个零点，
（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k²x+k+1，
则k＞0时，kx≤-1，k²x≤-k，可得k²x+k≤0，y有一个零点，
（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，
则k＞0时，即y=0可得kx+1=$\frac{1}{e}$，y有一个零点，
综上可知，当k＞0时，有3个零点；
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．