Question

12．已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线G：$\frac{x^2}{a^2}-{y^2}$=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线G的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可求抛物线线y²=2px的准线，从而可求p，进而可求M，由双曲线方程可求A，根据双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则由斜率相等可求a．

解答 解：∵M（1，m）到抛物线y²=2px（p＞0）的准线x=$-\frac{p}{2}$的距离等于M到其焦点的距离5，
∴$-\frac{p}{2}$=-4，∴p=8，
∴抛物线方程为y²=16x，
A（-a，0），不妨设m＞0，则M（1，4），
∵AM∥直线$y=\frac{1}{a}x$，∴${k_{AM}}=\frac{4}{1+a}=\frac{1}{a}$，解得$a=\frac{1}{3}$，
故选：A．

点评 本题主要考查了抛物线的性质的应用，双曲线的性质的应用，解题的关键是灵活利用抛物线的定义求出抛物线的准线方程．