Question

 (12分) 设椭圆E：（a > b > 0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，

(1) 求椭圆E的方程；

(2) 是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且?若存在，写出该圆的方程，并求取值范围；若不存在，说明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：(1) 椭圆E过M、N

∴    ∴    ∴ 椭圆E： 5分

        (2) 假设存在这样的圆，设该圆的切线为，由  

∴

当

，要使

∴    ∴

∴    ∴

又    ∴   ∴   ∴

又与圆心在原点的圆相切

∴ ，即，

∴ 所求圆：

当切线斜率不存在时，切线为，与椭圆交于（，）

或（，），满足

综上：存在这样的圆满足条件    9分

∵

当时，

∴ （当时取等）

当k = 0时，

当k不存时，

∴    12分

解法二：设A（x₁，y₁），证明的直线方程为y = kx（k存在）

由   ∴

同理可以算出：

时，

∴

 

  解法三：过O作AB的垂线OT，垂足为T

显然T在以O为圆心，为半径的圆上

∴ 所求圆的方程为

 

当时，

∴