Question

16．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且经过点（0，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，可得b²=a²-c²，即可得出椭圆C的方程．
（2）当l⊥x轴时，直线l的方程为：x$±\frac{\sqrt{3}}{2}$，此时S_△AOB═$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+m．由$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$化为：4m²=3（1+k²）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$化为：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{4{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}+1}$利用基本不等式求解．

解答 解：（1）由题意可得：b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得a=$\sqrt{3}$，
可得椭圆C的方程$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$
（2）当l⊥x轴时，直线l的方程为：x$±\frac{\sqrt{3}}{2}$代入椭圆方程可得y$±\frac{\sqrt{3}}{2}$此时S_△AOB═$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+m．
由$\frac{|m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$化为：4m²=3（1+k²）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$化为：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0，
△＞0化为：1+3k²＞m²．
∴x₁+x₂=$\frac{-6km}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{3{m}^{2}-3}{1+3{k}^{2}}$
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{3}\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+3{k}^{2}-{m}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}$×$\frac{\sqrt{（1+{k}^{2}）（1+9{k}^{2}）}}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{4{k}^{2}}{9{k}^{4}+6{k}^{2}+1}+1}$
当k=0时，∴S_△AOB=$\frac{3}{4}$．
当k²＞0时，S_△AOB=$\frac{3}{4}×\sqrt{\frac{4}{9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}+6}+1}$
∵$9{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}≥6$，当且仅当k═$±\frac{\sqrt{3}}{3}$时，△AOB面积的最大值S_△AOB）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
综上可得：△AOB面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，

点评 题考查了=圆锥曲线的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．