Question

18．若双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为3，其渐近线与圆x²+y²-6y+m=0相切，则m=8．

Answer 1

分析 由于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为3，得到双曲线的渐近线y=2$\sqrt{2}$x，渐近线与圆x²+y²-6y+m=0相切，可得圆心到渐近线的距离d=r，利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率为3，
∴c=3a，∴b=2$\sqrt{2}$a，取双曲线的渐近线y=2$\sqrt{2}$x．
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的渐近线与x²+y²-6y+m=0相切，
∴圆心（0，3）到渐近线的距离d=r，
∴$\frac{3}{\sqrt{8+1}}=\sqrt{9-m}$，∴m=8，
故答案为：8．

点评 本题考查了双曲线的渐近线及其离心率、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．