Question

8．在△ABC中，$A={60°}，b=2，{S_{△ABC}}=\sqrt{3}$，则$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知利用三角形面积公式可求c，可得三角形为正三角形，从而代入 即可求值得解．

解答 解：在△ABC中，∵$A={60°}，b=2，{S_{△ABC}}=\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×2×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴可得：c=2，
∴由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}-2×2×2×\frac{1}{2}}$=2，可得：A=B=C=60°，
∴$\frac{a+b+c}{sinA+sinB+sinC}$=$\frac{3a}{3sinA}$=$\frac{a}{sinA}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．