Question

4．某观测站C在城A的南偏西20?的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南偏东40?，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，则此人还需走15千米到达A城．

Answer 1

分析 先求出cos∠BDC，进而设∠ADC=α，则sinα，cosα可求，在△ACD中，由正弦定理求得得AD，答案可得．

解答 解：由已知得CD=21，BC=31，BD=20，
在△BCD中，由余弦定理得 cos∠BDC=$\frac{2{1}^{2}+2{0}^{2}-3{1}^{2}}{2×21×20}$=-$\frac{1}{7}$，
设∠ADC=α，则 cosα=$\frac{1}{7}$，sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
在△ACD中，由正弦定理得$\frac{AD}{sin（\frac{π}{3}+α）}$=$\frac{21}{sin\frac{π}{3}}$，
AD=$\frac{42}{\sqrt{3}}$sin（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{42}{\sqrt{3}}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$）=15，
故答案为：15．

点评 本题主要考查了解三角新的实际应用．解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案．