Question

3．设集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R，x∈R}，
（1）求A的子集；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1求解集合A，列举法写出A的子集．
（2）根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）集合A={x|x²+4x=0，x∈R}，
∵x²+4x=0，
解得：x₁=0，x₂=-4，
∴集合A={-4，0}．
那么集合A的子集为：{-4}，{0}，{-4，0}和∅．
（2）集合B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0，a∈R，x∈R}
由方程x²+2（a+1）x+a²-1=0
∵△=4（a+1）²-4a²+4，
当△＜0时，即a＜-1．
∴方程无解，此时B⊆A成立．
当△=0时，即a=-1，方程有一个解，
①x₁=0，即a²-1=0，解得a=±1，故得a=-1．
②x₂=-4，即a²-8a+7=0，解得a=1或a=7，故a无解．
当△＞0时，即a＞-1，方程有两解，x₁=0，x₂=-4，解得a=1，
综上所得：B⊆A，实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}．

点评 本题考查的是集合元素的分布以及运算问题，方程的思想以及问题转化的思想在题目当中的应用．此题属于集运算与方程、不等式于一体的综合问题，值得同学们认真反思和归纳．