Question

7．设命题p：函数f（x）=x³-ax-1在区间[-1，1]上单调递增；命题q：函数y=ln（ax²+x+1）的值域是R．如果“（￢p）∧q”为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 如果“（￢p）∧q”为真，则p假，q真，进而得到实数a的取值范围．

解答 解：若函数f（x）=x³-ax-1在区间[-1，1]上单调递增；
则数f′（x）=3x²-a≥0在区间[-1，1]上恒成立，
即a≤3x²在区间[-1，1]上恒成立，
解得：a≤0，
故命题p：a≤0，
若函数y=ln（ax²+x+1）的值域是R．
则a=0，或$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=1-4a≥0\end{array}\right.$，
解得：0≤a≤$\frac{1}{4}$，
即命题q：0≤a≤$\frac{1}{4}$，
如果“（￢p）∧q”为真，
则p假，q真，
故0＜a≤$\frac{1}{4}$

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题等知识点，难度中档．