题目内容

已知向量 $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，sin $数学公式$ ）， $数学公式$ =（cos $数学公式$ ，-sin $数学公式$ ），且x∈[ $数学公式$ ，π]．
（1）求 $数学公式$ 及 $数学公式$ ；
（2）求函数f（x）= $数学公式$ +| $数学公式$ |的最大值，并求使函数取得最大值时x的值．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ =（cos $\text{[math]}$ ，sin $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（cos $\text{[math]}$ ，-sin $\text{[math]}$ ），且x∈[ $\text{[math]}$ ，π]．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
=cos2x，
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=2|cosx|，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴cosx＜0．
∴| $\text{[math]}$ |=-2cosx．
（2）f（x）= $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |
=cos2x-2cosx
=2cos²x-2cosx-1
=2（cosx- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∵x∈ $\text{[math]}$ ，
∴-1≤cosx≤0，…（13分）
∴当cosx=-1，即x=π时，f_max（x）=3．
分析：（1）由向量 $\text{[math]}$ =（cos $\text{[math]}$ ，sin $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（cos $\text{[math]}$ ，-sin $\text{[math]}$ ），且x∈[ $\text{[math]}$ ，π]，利用向量的数量积公式和向量的模的计算法则能够求出 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ．
（2）由f（x）= $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |=cos2x-2cosx=2cos²x-2cosx-1=2（cosx- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，能求出函数f（x）= $\text{[math]}$ +| $\text{[math]}$ |的最大值，并能求出使函数取得最大值时x的值．
点评：本题考查平面向量的综合运算，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．易错点是忽视角的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答．