题目内容

4．在数列{an}中，若an2-an-12=p（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：
①若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列；
②若数列{an}是等方差数列，则数列{an2}是等方差数列；
③{（-1）n}是等方差数列；
④若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．
其中正确命题的个数为（　　）
A．4B．3C．2D．1

分析 根据“等方差数列”的定义，我们逐一判断可得答案．

解答 解：∵{an}是等方差数列，∴an2-an-12=p（p为常数）得到{an2}为首项是a12，公差为p的等差数列；
∴{an2}是等差数列，故①正确，②不正确；
数列{（-1）n}中，an2-an-12=[（-1）n]2-[（-1）n-1]2=0，
∴{（-1）n}是等方差数列；故③正确；
数列{an}中的项列举出来是，a1，a2，…，ak，…，a2k，…
数列{akn}中的项列举出来是，ak，a2k，…，a3k，…，
∵（ak+12-ak2）=（ak+22-ak+12）=（ak+32-ak+22）=…=（a2k2-a2k-12）=p
∴（ak+12-ak2）+（ak+22-ak+12）+（ak+32-ak+22）+…+（a2k2-a2k-12）=kp
∴（akn+12-akn2）=kp
∴{akn}（k∈N*，k为常数）是等方差数列；故④正确．
故选：B．

点评 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及新定义等方差数列化简求值，是一道中档题．

练习册系列答案
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