Question

（本题满分14分）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，，底面.

（1）证明：；

（2）若，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）二面角A－PB－C的余弦值为.

【解析】

试题分析：（1）证明：，证明线线垂直，只需证明一条线垂直过另一条线的平面即可，注意到底面，即，因此可证平面，只需证明，由已知，，，由余弦定理得，即，故，可证（2）若，求二面角的余弦值，可用向量法，注意到DA，DB，DP三条直线两两垂直，故以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz，写出各点的坐标，分别求出平面PAB与平面PBC的法向量，即可求出二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：因为，，

由余弦定理得. （2分）

从而，故. （3分）

面面， （4分）

又

所以平面. （5分）

故. （6分）

（2）如图，以D为坐标原点，射线DA，DB，DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz， 则．

， （8分）

设平面PAB的法向量为，[来源:学科则，即

因此可取． （10分）

设平面PBC的法向量为，则

可取 （12分）

则，故钝二面角A－PB－C的余弦值为. （14分）

注：第二问若使用几何法按找到并证明二面角的平面角得4分，求出二面角的平面角的余弦值得4分.其它方法酌情给分.

考点：线面垂直的性质，二面角.